5、随机变量：概念、分布与应用

随机变量：概念、分布与应用

1. 随机变量的基本概念

随机变量是一个数值由随机实验结果决定的变量，它是从实验样本空间到实数集的映射。通常用大写字母如 (X)、(Y)、(Z) 等来表示。

例如，抛三次公平硬币的实验中，可定义多个随机变量。设 (X) 为正面朝上的次数，其可能取值为 (0)、(1)、(2)、(3)，对应的概率分别为 (1/8)、(3/8)、(3/8)、(1/8)。随机变量的概率分布是一个将概率分配给其取值或取值集合的表格、规则或公式。

随机变量主要分为两类：
- 离散随机变量 ：取值来自有限或可数集合，如上述抛硬币实验中的 (X)。
- 连续随机变量 ：可以取实数线上某一区间内的任意值，测量结果通常用连续随机变量建模。

2. 离散随机变量

2.1 概率分布函数（PDF）与累积分布函数（CDF）

设离散随机变量 (X) 取值为 (x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots)，对应的概率为 (p_1,p_2,\cdots,p_n,\cdots)，且 (\sum_{n} p_n = 1)。其 PDF 是将概率分配给 (X) 取值的表格：
| (X) | (x_1) | (x_2) | (\cdots) | (x_n) | (\cdots) |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| (Prob) | (p_1) | (p_2) | (\cdots) | (p_n) | (\cdots) |

CDF 定义为