28、分层集合决策图与自动饱和技术解析

分层集合决策图与自动饱和技术解析

1. 研究贡献

在算法实现中，包括饱和算法在内的多种算法变体都可以使用分层集合决策图（SDD）来实现。不过，本文引入了一种更为自然的方式，即通过 h⋆ 一元运算符来表达不动点，这在变体 d 中有所体现。在这个版本里，用户无需指定转换的应用顺序，而是由库来决定如何最有效地计算结果。默认情况下，库会采用当前可用的最有效算法——饱和算法。通过在库内部实现饱和算法，我们成功克服了其他决策图（DD）包的局限性。

2. 自动饱和技术

自动饱和技术通过简单的重写规则自动创建饱和效果，将复杂的算法逻辑嵌入到库中，让用户在无需额外成本的情况下就能利用该技术的强大功能。其核心在于局部不变性这一特性。

2.1 局部不变性

饱和算法的实现需要最小的结构信息，即必须知道要应用的最高变量操作。为此，我们定义了局部不变同态：
- 定义 ：同态 h 在变量 e 上是局部不变的，当且仅当对于所有 s = ⟨e,α⟩∈ ∪，有 h(s) = (x,d)∈α e x−→h(d)。这意味着 h 的应用不会修改变量 e 的节点结构，并且 h 在遍历这些节点时也不会被修改。变量 e 对于操作 h 来说是“无关紧要”的，h 既不写入也不读取它。将 h 应用于该变量的标准 DD 编码会产生恒等映射。恒等同态 Id 在所有变量上都是局部不变的。
- 用户操作 ：用户在定义归纳同态 h 时，应提供一个谓词 Skip(e)，如果 h 在变量 e 上是局部不变的，则该谓词返回 true。这个最小信息将用于重新排序同态的应用，以产生饱和效果。例如，对于 h+ 和