52、空间高效的MAXCUT和COLORING半定规划近似算法

空间高效的MAXCUT和COLORING半定规划近似算法

1. 引言

半定规划是一种用于优化矩阵 $X$ 的线性函数的数学规划，需满足线性约束以及 $X$ 为对称半正定矩阵的条件。它是凸规划的特殊情况，也是线性规划的推广。半定规划在组合优化问题中的应用，由Lovász对图的香农容量的研究开创，这也引出了一些完美图优化问题的多项式时间算法，如MAXCLIQUE和COLORING。

近年来，半定规划成为设计近似算法的重要技术。Goemans和Williamson给出了图MAXCUT的近似算法，其近似比显著优于先前的算法，核心是获得半定规划的近似最优解。基于此，Karger、Motwani和Sudan发现了对k - 可着色图着色的最佳近似算法。半定规划技术还成功应用于许多其他优化问题的近似算法设计。

目前解决半定规划的算法，如内点法，空间复杂度为 $\Omega(n^2)$，这限制了实际可求解问题的规模。本文旨在探索半定规划松弛算法在空间复杂度方面的效率，提出了空间高效的算法。

2. 概述

空间效率在求解数学规划中是一个实际问题。通常求解数学规划的程序需将所有数据存于主存，因此 $O(n^2)$ 的空间需求限制了实际可求解问题的规模。本文展示了如何在空间 $\tilde{O}(m + n^{1.5})$ 内求解三个问题，能显著增大实际可求解问题的规模。

• MAXCUT ：之前的时间高效算法从秩为1的可行解开始，迭代改进解的质量，但最终解可能是满秩的。根据Pataki的结果，存在秩为 $O(\sqrt{n})$ 的相同质量解。本文的空间高效算法是在时间高效算法基础上增加秩缩减