42、广义自逼近曲线研究

广义自逼近曲线研究

1. 引言

在平面几何中，自逼近曲线是一类具有特殊性质的曲线。对于一条从点 A 到点 Z 的有向曲线 f，给定一个角度 ϕ（范围在 [0, π) 内），若对于曲线上的任意一点 B，从 B 到 Z 的曲线段都包含在以 B 为顶点、角度为 ϕ 的楔形区域内，那么这条曲线 f 就被称为 ϕ - 自逼近曲线。

自逼近曲线的研究源于一些实际问题和理论挑战。例如，在 1995 年的达格斯图尔计算几何研讨会上，Seidel 提出了两个开放性问题：是否存在一个常数 c(ϕ)，使得每条 ϕ - 自逼近曲线的长度至多是其端点距离的 c(ϕ) 倍？如果存在，这个常数 c(ϕ) 能有多小？

自逼近曲线在多个领域都有重要应用：
- 移动机器人路径规划 ：当移动机器人想要到达未知星形多边形的内核，并持续沿着可见的最内侧左右反射顶点的角平分线移动时，所形成的路径对于 ϕ = π/2 是自逼近的。这为机器人路径规划的竞争因子提供了一个上限。
- 欧几里得图的生成树构建 ：在构建欧几里得图的生成树时，可以通过递归地从角度为 ϕ 的圆锥中添加点到生成结构中，得到一系列点 p1, p2, …, pn，使得对于每个索引 i，pi + 1, …, pn 都包含在以 pi 为顶点、角度为 ϕ 的圆锥内。

此外，曲线的这些性质本身也具有理论研究价值。例如，在几何问题中，具有递增弦的曲线（即对于曲线上任意四个连续点 A、B、C、D，B 到 C 的距离小于 A 到 D 的距离）与本文研究的曲线有密切联系：一条曲线具有递增弦当且仅当它在两个方向上都是 π/2 - 自逼近的。