27、奇偶校验下选择 k 个最大元素的算法研究

奇偶校验下选择 k 个最大元素的算法研究

在数据处理和算法设计中，从一组数中选择 k 个最大元素是一个常见且重要的问题。本文将围绕奇偶校验（parity tests）在该问题中的应用展开，介绍高效的随机算法以及确定性算法的下界。

1. 随机算法的贡献

对于从 n 个不同的数中找出 k 个最大元素的问题，当允许使用奇偶校验时，存在一种随机算法。对于任意常数 c > 1，该算法的错误概率为 O(1/n^c)，并且仅使用 O(log²n + k log n) 次奇偶校验。需要注意的是，如果只允许进行两两比较，随机化并不能带来帮助。具体而言，任何使用 o(n) 次两两比较的随机算法，其错误概率至少为 1 - o(1)，也就是说，这样的算法几乎肯定会返回错误答案。

2. 选择 k 个最大元素的下界

当只允许使用奇偶校验时，任何确定性算法在最坏情况下，为了找出 n 个不同数中的 k 个最大元素，至少需要进行 n - k + ⌈log n(n - 1) · · · (n - k + 1)⌉ 次测试。

2.1 计算模型

我们使用决策树来模拟选择算法。决策树是一种二叉树，其中每个内部节点都标记有对输入的测试（例如奇偶校验 “∏(i,j)∈C(xi - xj) : 0”），每个叶子节点都标记有一个输出（例如最大元素的索引）。每个内部节点都有两条向外的边，分别标记为 “> 0” 和 “< 0”。

对于任何输入 X = {x1, x2, · · ·, xn}，选择算法的执行过程对应于从决策树的根节点到叶子节点的一条路径。具体来说，从根节点开始，我们反复执行节点中指定的测试，并沿着与测试结果匹配的边前