11、图绘制中的两层平面化与正交绘制算法研究

图绘制中的两层平面化与正交绘制算法研究

1. 两层平面化问题

在图绘制领域，两层平面化问题是一个重要的研究方向。对于一个图 (G = (V, E))，存在从 (G) 到 (G’ = (V’, E’)) 和 (G’’ = (V’‘, E’‘)) 的变换，满足 (E’ \cong E \cong E’‘)，(|V’| = |V’‘| = 2|E|)，并且 (P_2(G) \cong P_2(G’) \cong T_2(G’)) 以及 (T_2(G) \cong T_2(G’‘) \cong P_2(G’‘))。

1.1 多面体 (P_1) 的结构

对于两层平面化问题，当有一层固定时，可以用整数线性规划来表述。设 (G = (A, B, E, \pi_A, •)) 是一个两层图，(\overline{w} \in N^{|E|}) 是边的成本向量，那么两层平面化问题就是求解 (\max{ \overline{w}\overline{x}^T | (\overline{y}, \overline{x}) \in P_1, \overline{y} \in R^L, \overline{x} \in R^{|E|}})。

多面体 (P_1) 的整数点由以下不等式组刻画：
- (-y_{uv} - y_{vw} + y_{uw} \leq 0)，(1 \leq u < v < w \leq |B|)
- (y_{uv} + y_{vw} - y_{uw} \leq 1)，(1 \leq u < v < w \leq |B|)
- (0 \leq y_{uv} \leq 1)，(1 \leq u < v <