25、雪队问题研究：从固定参数可解性到多项式算法

雪队问题研究：从固定参数可解性到多项式算法

1. 雪队问题概述

雪队问题（Snow Team Problem，简称 ST 问题）在图论和组合优化领域有着重要的研究价值。在该问题中，输入的有向图 $D = (V, A, F, B)$ 包含顶点集 $V$、弧集 $A$ 以及两个顶点权重函数 $F$ 和 $B$，其中 $B(v) ≤ n - 1$ 对于任意 $v ∈ V$ 成立，输入的描述需要 $O(n log n + m)$ 空间（这里 $m ≥ n - 1$）。

2. ST 问题的固定参数可解性证明

为了证明 ST 问题关于设施和雪队基地的数量是固定参数可解的，我们引入了 All - ST 问题这一受限变体。All - ST 问题将输入限制为满足 $B = B^{-1}(N+) ⊆ F = F^{-1}(1)$ 的有向图，即雪队基地只能位于某些设施处。

• 引理 1 ：若 All - ST 问题能在 $2^{O(k)}·poly(n)$ 时间内解决（$k$ 为输入受限有向图中设施的数量，图的阶为 $n$），那么 ST 问题能在 $2^{O(l)} · poly(n)$ 时间内解决，其中 $l$ 是输入有向图中设施和雪队基地的总数。证明基于这样一个事实：有向图 $D$ 对 ST 问题有肯定回答，当且仅当存在 $B \setminus (F ∩ B)$ 的子集 $B’$，使得有向图 $D’$ 对 All - ST 问题有肯定回答。
• 引理 2 ：受限实例 $D$ 对 All - ST 问题有肯定回答，当且仅当 $D$ 的传递闭包 $TC(D)$ 对 All