22、求解超越方程的高效迭代方法

求解超越方程的高效迭代方法

在数学领域，求解超越方程是一个重要且具有挑战性的问题。本文将介绍几种用于求解超越方程的迭代方法，包括割线法、试位法、牛顿 - 拉夫逊法和切比雪夫法，并分析它们的收敛速度。

割线法

割线法的误差方程可以表示为：
[
\epsilon_{k + 1} = C\epsilon_{k}\epsilon_{k - 1}
]
其中 (C = \frac{1}{2}\frac{f’‘(\xi)}{f’(\xi)})，(\epsilon_{k}) 表示第 (k) 次迭代的误差。

为了确定割线法的收敛速度，我们考虑如下形式的方程：
[
\epsilon_{k + 1} = A\epsilon_{k}^{p}
]
其中 (A) 和 (p) 是待确定的常数。

将 (\epsilon_{k}=A\epsilon_{k - 1}^{p}) 代入误差方程，得到：
[
A\epsilon_{k}^{p}=C A^{-(1 + \frac{1}{p})}\epsilon_{k}^{1 + \frac{1}{p}}
]
比较两边 (\epsilon_{k}) 的幂次，可得：
[
p = 1 + \frac{1}{p}
]
解这个方程，得到 (p=\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{5}))。忽略负号，割线法的收敛速度为 (p = 1.618)。

同时，我们还可以得到 (A = C^{\frac{p}{p + 1}})。

试位法

如果方程