8、人机协作中机器人轨迹跟踪与力控制的建模与优化

人机协作中机器人轨迹跟踪与力控制的建模与优化

1. 模型构建

在人机协作场景中，为了实现机器人的有效控制，需要对机器人和人类手臂分别进行建模，然后将二者统一起来。

1.1 机器人模型

机器人手臂的运动学可以用以下方程表示：
- 位置关系：$x(t) = φ(q)$，其中$x(t) \in R^n$是笛卡尔空间中的位置，$q \in R^n$是关节空间中的坐标。
- 速度关系：对位置方程求导可得$\dot{x}(t) = J(q)\dot{q}$，这里$J(q) \in R^{n×n}$是雅可比矩阵。
- 加速度关系：进一步对速度方程求导得到$\ddot{x}(t) = \dot{J}(q)\dot{q} + J(q)\ddot{q}$。

机器人手臂在关节空间的动力学模型为$M(q)\ddot{q} + C(q, \dot{q})\dot{q} + G(q) = τ + J^T(q) f$，其中$M(q) \in R^{n×n}$是惯性矩阵，$C(q, \dot{q})\dot{q} \in R^n$是科里奥利力和离心力，$G(q) \in R^n$是重力，$τ \in R^n$是控制输入，$f \in R^n$是人类手臂施加的相互作用力。

将运动学方程代入动力学模型，可得到机器人手臂在笛卡尔空间的动力学模型：
$M_R(q)\ddot{x} + C_R(q, \dot{q})\dot{x} + G_R(q) = u + f$
其中：
$M_R(q) = J^{-T}(q)M(q)J^{-1}(q)$
$C_R(q, \dot{q}) = J^{-T}(q)(C(q,