67、图形模型：理论与应用

图形模型：理论与应用

1. 引言

在处理高维数据时，我们常常面临计算复杂度高和数据表示困难的问题。图形模型为解决这些问题提供了一种有效的方法，它能够紧凑地表示多元分布，从而开发出高效的算法。

2. 图形模型的定义与动机

2.1 定义

图形模型是一种紧凑表示多元分布的手段。其核心思想是利用高维分布倾向于围绕局部交互进行因式分解的特性，将高维分布表示为低维项的乘积。

相关符号和核心定义如下：
| 符号 | 描述 |
| ---- | ---- |
| (X = (X_1 \cdots X_N)) | 随机变量（在图中为提高可读性，也使用 (X = (A, B, C \cdots))） |
| (x = (x_1 \cdots x_N)) | 随机变量 (X) 的一个实现 |
| (\mathcal{X}) | (X) 的样本空间（定义域） |
| (X_A) | (X) 可由集合索引，假设 (A \subseteq {1 \cdots N}) |
| (p(x)) | (X = x) 的概率 |
| (\overline{A}) | (A) 的否定，即 ({1 \cdots N} \setminus A) |
| (X_A \perp X_B) | (X_A) 和 (X_B) 独立 |
| (X_A \perp X_B \mid X_C) | 给定 (X_C) 时，(X_A) 和 (X_B) 条件独立 |

核心定义：
- 乘积规则 ：(p(x_A, x_B) = p(x_