15、离散对数计算算法与应用

离散对数计算算法与应用

1. 引言

离散对数问题在密码学中占据着至关重要的地位，它是众多加密算法和协议的安全基石。本文将深入探讨多种离散对数计算算法，包括Pohlig - Hellman算法、指数微积分算法以及算术电路方法，并分析它们的原理、复杂度和应用场景。

2. Pohlig - Hellman算法

Pohlig - Hellman算法的核心在于将任意群中的离散对数问题逐步简化为素数幂阶群，进而简化为素数阶群的问题。

• 算法步骤 ：

  1. 输入为一个阶为 $p^e$ 的循环群 $G = \langle g \rangle$（其中 $p$ 是素数，$e \geq 2$）以及元素 $x \in G$，目标是计算 $dlog_g x$。
  2. 计算 $h = g^{p^{e - 1}}$ 并设置 $y_{-1} = 1 \in G$。
  3. 对于 $i$ 从 $0$ 到 $e - 1$ 执行以下操作：
     • 计算 $x_i \leftarrow (x \cdot y_{i - 1})^{p^{e - i - 1}}$，此时 $x_i \in H = \langle h \rangle$。
     • 计算 $a_i \leftarrow dlog_h x_i$。
     • 计算 $y_i \leftarrow y_{i - 1} \cdot g^{-a_i p^i}$。
  4. 返回 $a = a