密码学硬核笔记——特殊离散对数问题

原创

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#算法

于 2020-05-13 18:38:47 首次发布

本文深入探讨Pohlig-Hellman算法在解决离散对数问题上的应用，特别是在阶为光滑数的有限阿贝尔群中。通过实例演示算法步骤，并分析其理论依据。

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前言

前几天参加了网鼎杯的比赛，第一道题就是简单粗暴的离散对数问题（DLP）。当时自己是用sagemath的discrete_log()函数的直接秒解的（另外第三题必须要用cmd打开flag才出来就很坑）。赛后发现这道离散对数题应该是用Pohlig–Hellman algorithm 做的，所以针对这次的题目学习了一遍该算法。

群

定义6.7：设 $H$ 是群 $G$ 的一个子集合，如果对于群 $G$ 的二元运算， $H$ 也构成一个群，就称 $H$ 为群 $G$ 的子群，记作 $H \leq G$ 。
定义6.8：若群 $G$ 包含的元素个数有限，则称 $G$ 为有限群，否则称为无限群。有限群 $G$ 所包含的元素个数称为 $G$ 的阶，记为 $∣ G ∣$ 。
定义6.9 ：设 $a$ 是群 $G$ 中的一个元素，若存在正整数 $n$ 使得 $a^n = e$ ，则称 $a$ 为有限阶元素，满足 $a^n = e$ 的最小正整数 $n$ 叫做 $a$ 的阶，记为 $∣ a ∣$ 。若不存在正整数 $n$ 使得 $a^n = e$ ，则称 $a$ 为无限阶元素。
定义6.10 设 $G$ 为群，若存在 $G$ 的一个元素 $a$ ，使得 $G$ 中的任意元素均由 $a$ 的幂组成，即
$G = \{ a^n | n ∈ Z\}$
则称群 $G$ 为循环群，元素 $a$ 为循环群 $G$ 的生成元，记为 $G =< a >$ 。

后面的内容都是围绕循环群的子群以及群和元素的阶展开的。

Pohlig–Hellman algorithm

维基百科解释如下： is a special-purpose algorithm for computing discrete logarithms in a finite abelian group whose order is a smooth integer.
是一种特殊算法，在阶为光滑数的有限阿贝尔群上解决离散对数问题。

同时

先看普遍情况下的算法：
在这里插入图片描述

大致流程如下：
(假设阶为 $\phi(m)$ )

首先，要解决的问题是
$g^x\equiv h \ mod\ m\ and\ n=\phi(m)=\prod_{i=1}^r p_i ^ {e_i}$

等式两边同乘上一个指数 $\frac{n}{p_i ^ {e_i}}$ ，可以得到：
$\begin{cases} （g^{x_1})^\frac{n}{p_1 ^ {e_1}}\equiv h^\frac{n}{p_1 ^ {e_1}} \ mod\ m\\ （g^{x_2})^\frac{n}{p_2 ^ {e_2}}\equiv h^\frac{n}{p_2 ^ {e_2}} \ mod\ m\\ （g^{x_3})^\frac{n}{p_3 ^ {e_3}}\equiv h^\frac{n}{p_3 ^ {e_3}} \ mod\ m\\ ...\\ （g^{x_r})^\frac{n}{p_r ^ {e_r}}\equiv h^\frac{n}{p_r ^ {e_r}} \ mod\ m\\ \end{cases}$

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