密码学硬核笔记——特殊离散对数问题

前言

前几天参加了网鼎杯的比赛，第一道题就是简单粗暴的离散对数问题（DLP）。当时自己是用sagemath的discrete_log()函数的直接秒解的（另外第三题必须要用cmd打开flag才出来就很坑）。赛后发现这道离散对数题应该是用Pohlig–Hellman algorithm 做的，所以针对这次的题目学习了一遍该算法。

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群

• 定义6.7：设$H$是群$G$的一个子集合，如果对于群$G$的二元运算，$H$也构成一个群，就称$H$为群$G$的子群，记作$H\le G$。
• 定义6.8： 若群$G$包含的元素个数有限，则称$G$为有限群，否则称为无限群。有限群$G$所包含的元素个数称为$G$的阶，记为$|G|$。
• 定义6.9 ：设$a$是群$G$中的一个元素，若存在正整数$n$使得$a^n=e$，则称$a$为有限阶元素，满足$a^n=e$的最小正整数$n$叫做$a$的阶，记为$|a|$。若不存在正整数$n$使得$a^n=e$，则称$a$为无限阶元素。
• 定义6.10 设$G$为群，若存在$G$的一个元素$a$，使得$G$中的任意元素均由$a$的幂组成，即
  G = { a n ∣ n ∈ Z } G = \{ a^n | n ∈ Z\} G={ an∣n∈Z}
  则称群$G$为循环群，元素$a$为循环群$G$的生成元，记为$G=<a>$。

后面的内容都是围绕循环群的子群以及群和元素的阶展开的。

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Pohlig–Hellman algorithm

维基百科解释如下：
是一种特殊算法，在阶为光滑数的有限阿贝尔群上解决离散对数问题。

同时

先看普遍情况下的算法：

大致流程如下：
(假设阶为$\varphi (m)$)

首先，要解决的问题是
$$g^x\equiv hmodmandn=\varphi (m)=\prod _{i=1}^r{p}_i^{e_i}$$

等式两边同乘上一个指数$\frac{n}{p_i^{e_i}}$，可以得到：
$$\{\begin{array}{l}（g^{x_1}{)}^{\frac{n}{p_1^{e_1}}}\equiv h^{\frac{}{p_1^{e_1}}}\end{array}$$