[论文阅读][经典ICP] A Method For Registration Of 3D Shapes

A Method For Registration Of 3D Shapes

Abstract

ICP的优势

1. 总是收敛的
2. 收敛速度够快
3. 可以用来做点集、曲线、曲面的registration

Introduction

ICP可以解决的问题：

1. 两个点集，点对的匹配关系未知，如何求解两个点集之间的刚体变换？
2. free-form curve matching problem

ICP不需要计算features、曲线或曲面的导数。3D data的噪声需要滤除，但无需更复杂的预处理。

Mathematical Preliminaries

最近点

这一节主要在数学上定义了“最近点”这一概念。定义了点$p$到以下几何实体的“最近点”:

• 点集

• 线段，线段集

• 三角面片，三角面片集

• 用显式方程表示的几何实体（e.g.:参数化的曲线、曲面）

• 用隐式方程表示的几何实体

Corresponding Point Set Registration

这一节讲解了已知匹配关系的3D点集，如何求解其刚体变换。(下文中记该方法为3D-3D 匹配求解法)。这可以被构建为一个最小二乘问题，目标函数为：
$$f(R,t)=\frac{1}{N_p}\sum _{i=1}^{N_p}||x_i-(R{p}_i+t)|{|}^2$$
（实际上就是对应点之间的距离）。具体的数学推导可以看https://zhuanlan.zhihu.com/p/111322916

ICP算法

有了以上的准备，就可以描述ICP算法了。

定义：

• source：点集$P$ (原文中的data shape)，点的总数记为$N_p$

• target：点集$X$（原文中的model shape), 点的总数记为$N_x$

• closest point: 点集$Y$ 。 对于source中的每一个点，在target中寻找其最近点，所构成的点集。第$k$次迭代得到的source点集$P_k$，可以得到其在$X$中的最近点集$Y_{}$