81、基于模型的RIP - 1矩阵与鲁棒伪随机生成器研究

基于模型的RIP - 1矩阵与鲁棒伪随机生成器研究

基于模型的RIP - 1矩阵相关研究

1. 广义扩展器与矩阵性质证明
   - 设 (S⊆[n]) 是大小至多为 (k) 的任意子集，对于 (i∈[m])，记 (y_i=(a_{ij}) {j∈S}∈R^S)。通过引理 3 可得 (\sum {i∈[m]}|y_i| ∞\geq(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})\sum {i∈[m]}|y_i| 2-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sum {i∈[m]}|y_i| 1)，再结合推论 1 和 RIP - 1 性质，进一步得到 (\sum {i∈[m]}|y_i| ∞\geq(1-(1 + \sqrt{2})\varepsilon)|S|)，从而证明矩阵 (A) 是广义 ((k,(1 + \sqrt{2})\varepsilon)) - 扩展器。
   - 对于定理 1 的证明，由引理 2 知 (A) 是广义 ((k,3\varepsilon)) - 扩展器。将 ([n]) 任意划分为 (n/k) 个大小为 (k) 的不相交集合 (S_1∪S_2∪\cdots∪S {n/k})，对每个 (i∈[m]) 和 (S_t)，将 (S_t) 中除绝对值最大的元素外的 (a_{ij}) 置为 0，得到矩阵 (A’)。因为 (A) 是广义 ((k,3\varepsilon)) - 扩展器，所以 (A - A’) 的向量 (\ell_1) 范数至多为 (3\varepsilon n)，平均每列的 (\ell_1) 范数至多为 (3\varepsi