线性变换的定义

线性空间的变换

线性空间 $V$ 到自身的映射为 $V$ 的一个变换。

线性变换

如果线性空间 $V$ 的一个变换 $f: V \to V$ 满足下列条件，则称 $f$ 为 $V$ 的一个线性变换：
$f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta), \forall \alpha, \beta \in V$
$f(k \alpha ) = k f(\alpha ), \forall k \in P, \forall \alpha \in V$

线性变换的性质

1. $f\left (\vec 0\right ) = \vec 0$
2. $f\left (-\alpha\right ) = - f\left (\alpha\right )$
3. $f(\sum \limits_{i = 1} ^{n} k_i \alpha_i) = \sum \limits_{i = 1} ^{n} k_i f( \alpha_i)$

特殊的线性变换

1. 恒等变换或单位变换： $\mathbf {I}( \alpha) = \alpha, \forall \alpha \in V$
2. 零变换 $\mathbf {0} (\alpha) = \vec 0, \forall \alpha \in V$
3. 数乘变换 $\mathbf {k} (\alpha) = k \alpha, \forall \alpha \in V, k \in P$

线性变换的运算

线性变换的乘法

若 $f, g$ 是线性空间 $V$ 上的两个线性变换，定义：
$\left ( f \circ g \right ) \left (\alpha\right ) = f\left (g\left (\alpha\right )\right ) , \forall \alpha \in V$

性质

1. 若 $f, g$ 是线性空间 $V$ 上的两个线性变换，则 $f \circ g$ 也是 $V$ 上的线性变换。
   证明：
   $\left ( f \circ g \right ) \left (k \alpha\right ) = f\left (g\left (k \alpha\right )\right )$
   =f(