基础集合论 第一章 3 集合论的公式和条件

七个逻辑关系

符号	原义
$\lnot$	非
$\land$	与
$\lor$	或
$\Rightarrow$	蕴含
$\Leftrightarrow$	当且仅当
$\forall (\ )$	对于任何的 $(\ )$，都有
$\exists(\ )$	存在某个 $(\ )$，使得

集合论的公式

$(a = b)$ 和 $(a \in b)$ （其中 $a, b$ 可用任何字母代替）是公式， 被称为原子公式。
如果 $\varphi, \phi$ 是公式，则 $(\lnot \varphi), (\varphi \land \phi), (\varphi \lor \phi), (\varphi \Rightarrow \phi), (\varphi \Leftrightarrow \phi)$ 是公式。
用 $\varphi(x)$ 记含 $x$ 的一个公式（还可含其它字母），则 $(\forall x \ \varphi(x))$ （对于任何的 $x$， $\varphi(x)$ 成立）和 $(\exists x \ \varphi(x))$ （存在某个 $x$，使得 $\varphi(x)$ 成立）是公式。
除此以外，都不是公式。

集合论的条件

$C(x)$ 是的一个集合论条件 $\Leftrightarrow C(x)$ 是包含 $x$ 的一个公式（还可包含其他字母）并且不包含 $\forall x$ 及 $\exists x$ 。集合论条件简称条件。

对于一个已知条件 $C(x)$ ， 如果存在一个集合 $A$, 字母 $A$ 不出现在 $C(x)$ 中，且 $\forall x (x \in A \Leftrightarrow C(x))$， 就说 $C(x)$ 是使 $x$ 成为集合 $A$ 的元素的一个条件，并记 $A = \left \{x| C(x) \right\}$ 。

推论：

$$\left. \begin{array}{l} A = \left \{x| C(x) \right\}, \\ B = \left \{x| C(x) \right\}, \end{array} \right \} \Rightarrow A = B$$