基础集合论 第一章 2 集合

研究对象

集合论中的一切对象都是集合。集合论研究集合和集合之间的关系。

两个基本关系

属于( $\in$ )

$\begin{cases} a \in A \Leftrightarrow a \text { 属于集合 } A \Leftrightarrow a \text {是集合 } A \text { 的元素 } \Leftrightarrow A \text { 包含 } a \\ a \not\in A \Leftrightarrow a \text { 不属于集合 } A \Leftrightarrow a \text {不是集合 } A \text { 的元素 } \Leftrightarrow A \text { 不包含 } a \end{cases}$

集合的元素也是集合。

等于( $=$ )

集合 $A$ 等于集合 $B ( A = B$ )：
$\begin{cases} A = B \Leftrightarrow A, B \text { 是同一个集合 } \Leftrightarrow A, B \text { 是同一个集合的不同记号， 可以互相代替 } \\ A \ne B \Leftrightarrow A, B \text { 不是同一个集合 } \end{cases}$

外延公理

$\forall A, B,$ 若 $\forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B, )$ 则 $A = B$

空集公理

$\exists$ 集合 $A, \forall x (x \not\in A)$

定义：不包含任何元素的集合叫空集，记为 $\emptyset$