38、化工过程动态建模与控制的MATLAB实现

化工过程动态建模与控制的MATLAB实现

1. 二阶过程动态特性

二阶模型由二阶微分方程表示，其拉普拉斯变换得到的传递函数分母为 s 的二阶多项式。二阶过程对各种输入的响应可采用与一阶过程类似的方法求解。

1.1 传递函数

二阶过程传递函数的一般形式为：
[G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{K}{\tau^2 s^2 + 2\tau\zeta s + 1}]

1.2 单位阶跃响应

当输入为单位阶跃信号 (X(s) = \frac{1}{s}) 时，输出 (Y(s)) 为：
[Y(s) = \frac{K}{\tau^2 s^2 + 2\tau\zeta s + 1} \cdot \frac{1}{s} = \frac{K}{s(s - r_1)(s - r_2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - r_1} + \frac{C}{s - r_2}]
其中：
[r_1 = \frac{-\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}}{\tau}, r_2 = \frac{-\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}}{\tau}, A = 1, B = \frac{r_1}{r_1 - r_2}, C = \frac{r_2}{r_2 - r_1}]

根 (r_1) 和 (r_2) 的特性取决于衰减比 (\zeta)：
- (\zeta < 1)（欠阻尼） ：(r_1) 和 (r_2) 是两个共轭复极点，时域响应 (Y(t)) 为：
[Y(