21、几何代数的变换、子代数及编程实现要点

几何代数的变换、子代数及编程实现要点

1. 几何代数 G6,3 的变换

在几何代数 G6,3 中，可利用旋量（versors）进行多种变换。如同在共形几何代数 G4,1 中的情况，对于 G6,3 里的几何对象，能使用基于原点 (e_0 = e_{01} + e_{02} + e_{03}) 的平移变换 (K_b)、基于无穷远点 (e_{\infty}=\frac{1}{3}(e_{\infty1} + e_{\infty2} + e_{\infty3})) 的平移算子 (T)、使用二向量 (n) 的旋转算子 (R) 以及它们组合而成的基于螺旋轴 (L) 的运动算子 (M)。其具体表达式如下：
- (K_b = 1 + be_0)
- (T = e^{-\frac{t}{2}e_{\infty}} = 1 + \frac{1}{2}te_{\infty})
- (R = e^{-\frac{\theta}{2}n} = \cos(\frac{\theta}{2}) - \sin(\frac{\theta}{2})n)
- (M = TR = e^{-\frac{\theta}{2}L})

此外，还存在透视变换的旋量（perspector）(P)、洛伦兹变换的旋量（Lorentor）(R_L)、剪切变换的旋量（sheartor）(S) 和伸缩变换的旋量（dilator）(D)，它们的计算方式有两种，既可以使用二向量 (e_ie_j)，也可以使用二向量 (e_{0i} \wedge e_{\infty j})。以下是具体公式：
- 透视变换旋量 (P)：
- (P = e^{B_f} = e^{\frac{f_3e_4e_8 - f_2e_4e_