18、共形几何代数：理论与应用解析

共形几何代数：理论与应用解析

1. 共形几何代数基础

在共形几何代数（CGA）中，通过点 (p) 的 (k) 维欧几里得子空间的一般形式为 (p ∧Xk ∧e∞)。在 CGA 里，几何对象可由线性无关的齐次点 (a_1, a_2, \cdots, a_r)（(r ≤ n) 且 (a_1 ∧a_2 ∧\cdots ∧a_r \neq 0)）的外积来计算，其外积可展开为：
[a_1 ∧a_2 ∧\cdots ∧a_r = A_r + e_0A^+ r + \frac{1}{2}e ∞A^- r - \frac{1}{2} EA^±_r]
其中：
- (A_r = a_0 ∧a_1 ∧\cdots ∧a_r)
- (A^+_r = \sum {i=0}^{r}(-1)^ia_0 ∧\cdots ∧\check{a} i ∧\cdots ∧a_r = (a_1 - a_0) ∧\cdots ∧(a_r - a_0))
- (A^-_r = \sum {i=0}^{r}(-1)^ia_i^2 a_0 ∧\cdots ∧\check{a} i ∧\cdots ∧a_r)
- (A^±_r = \sum {i=0}^{r}\sum_{j=i + 1}^{r}(-1)^{i + j}(a_i^2 - a_j^2) a_0 ∧\cdots ∧\check{a}_i ∧\cdots ∧\check{a}_j ∧\cdots ∧a_r)

这个展开式能给出如下几何信息：
- 若 (A_r \neq 0)，则确定一个 (r) - 单形。
- 若 (A^+_r