4、多元分析与时间序列预测综合解析

多元分析与时间序列预测综合解析

1. 多元分析基础

在多元分析中，协方差矩阵是一个重要的概念。其对角元素 $\sigma_{jj} = \sigma_{j}^{2}$ 是变量 $X$ 的总体方差，而非对角元素 $\sigma_{ik}$ 则是所有可能的变量对 $X$ 的总体协方差（$i \neq k$）。通常用 $\sum$ 来表示协方差矩阵，因为它是 $\sigma$ 的大写形式，这种表示自然且广泛使用。

以一个数据矩阵为例：
$X =
\begin{bmatrix}
48 & 3 \
22 & 1 \
50 & 2
\end{bmatrix}$
这里每个收据产生一对测量值，分别是总美元销售额和售出电影数量。由于有三张收据，每个变量共有三个观测值。我们可以按如下方式计算样本方差和协方差 $S_n$：
- $s_{11} = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{3}(x_{j1} - \bar{x} 1)^2 = \frac{1}{2}((48 - 40)^2 + (22 - 40)^2 + (50 - 40)^2) = 244$
- $s {22} = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{3}(x_{j2} - \bar{x} 2)^2 = \frac{1}{2}((3 - 2)^2 + (1 - 2)^2 + (2 - 2)^2) = 1$
- $s {12} = \frac{1}{2}\sum_{j = 1}^{3}(x_{j1} - \bar{x} 1)(x {j2} - \b