54、基于混淆技术的多线性映射：原理、安全性与难题探究

基于混淆技术的多线性映射：原理、安全性与难题探究

在密码学领域，多线性映射是一个重要的研究方向，它在许多密码学方案和应用中都有着关键作用。本文将深入探讨基于混淆技术构建的多线性映射，包括其基本原理、编码的不可区分性以及相关的难解问题。

1. 多线性映射基础

多线性映射在密码学方案中扮演着核心角色。对于多线性映射 $\Gamma$，当输入 $\kappa$ 个群元素 $h_i = [z_i] i = ([z_i]_0, c {i,1}, c_{i,2}, \pi_i)$ 时，它会使用私钥 $sk_1$ 恢复表示 $x_i$，然后利用矩阵 $W$ 的显式知识计算映射的输出：
[e([z_1] 1, \ldots, [z {\kappa}] {\kappa}) := \left(\prod {i = 1}^{k} \langle x_i, \omega_i \rangle\right)^{\kappa + 1}]
由于 $G_{\kappa + 1}$ 等同于 $G_0$ 且 $g_{\kappa + 1} = g_0$，映射的输出就是 $G_0$ 中的元素 $(g_0)^{\sum_{i = 1}^{k} \langle x_i, \omega_i \rangle}$。这个指数中的乘积可以在 $Z_N$ 上高效计算，多线性映射的多线性性质源于上述乘积中每个乘数的线性性，以及相关协议和混淆器的正确性。

2. 采样与提取

给定满足 $\langle x, \omega_i \rangle = \langle y, \omega_i \rangle$ 的向量 $x$ 和 $y$，我