30、小波变换相关知识详解

小波变换相关知识详解

1. 小波紧框架

在小波变换中，当从一个仿酉滤波器组生成小波函数 ${2^{k/2} \psi(2^{k} t - n)}$ 时，如果不满足某些条件，它们可能无法构成正交基。但即便如此，这些函数总能为 $L^2$ 空间形成一个紧框架。

1.1 紧框架定理

设 $G_s(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{N} g_s(n)e^{-j\omega n}$ 是一个满足以下性质的滤波器：
1. $G_s(e^{j0}) = 1$
2. $\vert G_s(e^{j\omega})\vert^2 + \vert G_s(-e^{j\omega})\vert^2 = 1$（功率对称性）

那么，$\varphi (t) \in L^2$。按照特定方式定义小波函数 $\psi(t)$ 后，序列 ${2^{k/2} \psi(2^{k} t - n)}$（其中 $k$ 和 $n$ 为所有整数）为 $L^2$ 空间形成一个紧框架，框架界为 1（即 $A = B = 1$）。

1.2 紧框架的性质

对于任意 $x(t) \in L^2$，可以表示为：
$\sum_{k=-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle x(t), \psi_{kn}(t) \rangle \psi_{kn}(t)$
其中 $\psi_{kn}(t) = 2^{k/2} \psi(2^{k} t - n)$。这种表示类似于正交基展开，并且可以像正交情况一样精确地找到小波系数 $c_{kn} = \langle x(t)