26、小波变换：原理、优势与应用

小波变换：原理、优势与应用

1. 引言

在科学和工程的众多领域中，像傅里叶变换、拉普拉斯变换和 z 变换这样的变换技术早已得到广泛应用。然而，在一些需要同时呈现时间 - 频率信息的应用场景里，我们就需要考虑其他类型的变换或时频表示方法。其中，小波变换技术相较于其他时频表示方法，如短时傅里叶变换，具有独特的优势。

小波变换的一个子类与数字滤波器组理论有着紧密的联系。这种联系使得我们能够系统地构建出具有多种理想特性的小波，例如紧支撑性（即有限时长）、平滑性、良好的时频定位能力以及基的正交性。而小波与滤波器组之间的联系在多分辨率理论中得到了完美的数学表达，这使得我们可以利用快速小波变换（FWT）来计算小波变换系数，FWT 本质上就是一种树状结构的滤波器组。

1.1 范围与概述

小波相关的文献资料极为丰富，我们将讨论范围限制在基础的核心内容上。部分内容会提供一个总体概述，以大多数工程师能够理解的水平进行呈现。而关于小波的一些更高级的成果，则会在后续部分进行介绍。为了帮助大家更好地理解这些高级成果，我们会在中间部分对相关数学知识进行较为全面的回顾。

1.2 为何选择小波

人们常常会问：“为什么要使用小波？”也就是说，小波相较于其他变换技术，如傅里叶变换，有哪些优势呢？这个问题的答案较为复杂，并且取决于我们探讨的层面。在后续内容中，我们会分散地对这个问题进行讨论。

1.3 通用符号和缩写

以下是一些通用的符号和缩写说明：
1. 粗体表示矩阵和向量。
2. (A^T)、(A^ ) 和 (A^†) 分别表示矩阵 (A) 的转置、共轭和转置共轭。