11、拉普拉斯变换：原理、应用与电路分析

拉普拉斯变换：原理、应用与电路分析

1. 拉普拉斯变换简介

拉普拉斯变换（Laplace Transform，LT）是经典电路、系统和控制理论的基石。它最初是为了将繁琐的微分方程求解转化为简单的代数问题而发展起来的。如今，工程师们已经超越了这一最初的动机，基于“s平面”开发了一套广泛的分析和设计方法。

拉普拉斯变换在解决电路和系统问题时具有重要作用。在介绍其正式原理之前，我们先通过一个简单的电路示例来引入。

2. 激励示例：串联RLC电路

考虑一个串联RLC电路，其输入和输出分别为电压x和y。该电路的输入 - 输出动态由一个线性、常系数微分方程控制：
[x(t) = LC\frac{d^2y}{dt^2} + RC\frac{dy}{dt} + y(t)]
这个方程虽然源于电路示例，但在机械、流体、声学、生物医学、化学等众多工程模型中出现的许多二阶系统中具有代表性。因此，我们可以将该电路视为一个“系统”，这里探讨的理论在系统建模和分析中具有广泛的适用性。

假设输入为：
[x(t) = M_x e^{\sigma_x t} \cos(\omega_x t + \theta_x) u(t)]
其中，u表示单位阶跃函数：
[u(t) = \begin{cases}
0, & t < 0 \
1, & t \geq 0
\end{cases}]
为方便起见，假设(M_x > 0)。电路的初始条件为(i(0^-) = i_0)和(y(0^-) = y_0)，其中(y_0)和(i_0)是已知量。

2.1 齐次解