7、双线性算子与矩阵：概念、性质与应用

双线性算子与矩阵：概念、性质与应用

1. 引言

在应用线性代数中，F - 向量空间 V 是常见且广泛使用的概念。它通常通过一系列公理来定义，这些公理大多合理但并不特别引人入胜。同时，其直观的表现形式包括力向量、速度向量的经典加法等。向量空间的概念对工程师的工作有一定帮助，尽管矩阵代数的思想可能更直接有用。

向量空间的公理中，有四条关于向量数乘的公理虽然不太受重视，但却至关重要，它们将向量的阿贝尔群与标量域联系起来。然而，F - 向量空间 V 存在一个重要的不足，即缺乏向量乘法的概念。在向量空间中，只能进行向量加法和向量与标量的乘法，无法实现向量与向量的乘法。但在许多实际情况中，我们会遇到这样的操作，如场论中的叉积和点积，以及矩阵乘法。

为了实现向量与向量的乘法，需要将向量空间扩展为代数。“代数”这个词在早期学习中含义较为模糊，通常指算术运算的推广，包括使用符号。实际上，代数是一个技术术语，与域、向量空间、环等类似。为了引入向量乘法的概念，需要精确地定义代数。

2. 代数

整数 I 和系数在域 F 中的多项式 F[s] 是环的例子。为了更深入地理解环，我们可以在域的公理基础上进行修改。具体来说，交换环的公理与域的公理的区别在于去掉了乘法逆元，这意味着在交换环中，即使元素非零，也不一定能进行除法运算。

在许多应用中，会遇到重要的交换环。但本章主要关注去掉了乘法交换律的环，例如元素来自域的 n × n 矩阵环。有些文献会区分环和含单位元的环，但在本文中，“环”指的是含单位元的环，即去掉了乘法逆元公理和乘法交换律公理的域。

域是大多数人比较熟悉的公理系统，因为它与早期的计算概念相对应。而环也有直观的理解，