8、双线性算子、矩阵与张量积的深入探讨

双线性算子、矩阵与张量积的深入探讨

1. 张量表示与矩阵乘积

在数学领域中，对于$b(u, v)$的张量表示有着一套完整的体系。其相关公式如(2.34)、(2.35)、(2.36)所示。读者可将这些示例的概念轻松扩展到$U$和$V$维度不同的情况，对于维度大于 1 的$X$，也能逐行进行类似扩展。

以普通矩阵乘积为例，对于域$F$上兼容的矩阵$P$和$Q$，矩阵乘积$m(P, Q) = PQ$ 是一个双线性算子。存在一个线性算子$M$，满足$m(P, Q) = M(P \otimes Q)$ 。这里的矩阵$P \otimes Q$ 即克罗内克积，若按常规方式选择基向量，其计算具有经典形式。实际上，任意其他乘积，包括通常的矩阵乘积，都可通过与矩阵相乘从克罗内克积得到。

2. 多重乘积

当涉及多个向量相乘时，就出现了多重乘积的概念。一些著名的场公式中包含叉积和点积。为了将这些多重乘积反映到张量概念中，我们引入了$p$ - 线性算子的概念。

考虑$p$个$F$ - 向量空间$U_i$（$i = 1, 2, …, p$），若算子$m: U_1 × U_2 × … × U_p → V$满足条件：
$m(u_1, …, f_iu_i + \bar{f}_i\bar{u}_i, …, u_p) = f_im(u_1, …, u_i, …, u_p) + \bar{f}_im(u_1, …, \bar{u}_i, …, u_p)$
对于$i = 1, 2, …, p$，所有$f_i$和$\bar{f}_i$属于$F$，所有$u_i$和$\bar{u}_i$属于$U_i$，则称$m$为$p$ - 线性算子。当$p = 2$时，双线性算