7、双线性算子、矩阵与张量：从基础到应用

双线性算子、矩阵与张量：从基础到应用

1. 张量表示与双线性算子

在数学中，双线性算子的张量表示是一个重要的概念。对于双线性算子 (b(u, v))，其张量表示的整体形式如下：
[
b(f_1, f_2, f_3) =
\begin{bmatrix}
g_1 \
g_2 \
g_2
\end{bmatrix}^T
\begin{bmatrix}
m_{11} & m_{12} & m_{13} \
m_{21} & m_{22} & m_{23}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f_1 \
f_2 \
f_3
\end{bmatrix}
]
也可以写成张量积的形式：
[
b(f_1, f_2, f_3) = [m_{11} \ m_{12} \ m_{13} \ m_{21} \ m_{22} \ m_{23}]
\begin{bmatrix}
f_1 g_1 \
f_1 g_2 \
f_1 g_3 \
f_2 g_1 \
f_2 g_2 \
f_2 g_3
\end{bmatrix}
]
读者可以轻松地将这些例子的概念扩展到 (U) 和 (V) 的维度与这里不同的情况，对于维度大于 1 的 (X) 的扩展也类似，可以逐行进行。

示例：矩阵乘积

另一个常见的例子是普通矩阵乘积 (m(P, Q) = PQ)，其中 (P) 和