2、线性代数中的算子与映射：基础概念与重要性质

线性代数中的算子与映射：基础概念与重要性质

1. 数学预备知识

在实数情形下，复共轭的作用是平凡的，因此可以省略。复欧几里得空间在相关领域将比实欧几里得空间发挥更重要的作用，但实欧几里得空间在运用凸性理论概念的场景中也很重要。作用于给定复欧几里得空间的埃尔米特算子空间是一个重要的实向量空间例子，它可以与实欧几里得空间等同起来。

2. 线性算子

给定复欧几里得空间 (X) 和 (Y)，用 (L(X, Y)) 表示所有形如 (A: X \to Y) 的线性映射的集合，这些映射被称为从 (X) 到 (Y) 的线性算子。在表达线性算子对向量的作用时，若不引起混淆，可省略括号，例如用 (Au) 表示算子 (A \in L(X, Y)) 作用于向量 (u \in X) 得到的向量。

(L(X, Y)) 构成一个复向量空间，其加法和标量乘法定义如下：
- 加法 ：对于算子 (A, B \in L(X, Y))，算子 (A + B \in L(X, Y)) 定义为 ((A + B)u = Au + Bu)，对所有 (u \in X) 成立。
- 标量乘法 ：对于算子 (A \in L(X, Y)) 和标量 (\alpha \in \mathbb{C})，算子 (\alpha A \in L(X, Y)) 定义为 ((\alpha A)u = \alpha Au)，对所有 (u \in X) 成立。

3. 矩阵及其与算子的对应关系

复数域上的矩阵是形如 (M : \Gamma \times \Sigma \to \mathbb{C})