23、线性代数中的向量空间与线性方程组求解

线性代数中的向量空间与线性方程组求解

1. 向量空间的概念

向量空间是二维平面和三维空间的推广，它是一组可以进行加法和数乘运算的对象集合。这些加法和数乘运算必须遵循特定规则，以模拟二维和三维空间中更为熟悉的运算。

1.1 向量空间的应用

• 数据类型抽象 ：在 Python 中，可以将不同数据类型的共同特征提取到抽象基类中，并通过继承来实现泛化。
• 算术运算符重载 ：Python 允许重载算术运算符，使得无论使用何种类型的向量，向量数学运算在代码中看起来都是相同的。
• 实际对象的向量表示 ：现实世界中的对象，如二手车，可以用多个数字（坐标）来描述，因此可以将其视为向量。这使我们能够思考诸如“两辆汽车的加权平均值”这样的抽象概念。
• 函数和矩阵作为向量 ：函数和矩阵也可以被视为向量。对于函数，可以通过对定义它们的表达式进行加法或乘法来实现函数的加法或数乘。矩阵的元素可以看作是一个高维向量的坐标，矩阵的加法和数乘与它们所定义的线性函数的加法和数乘具有相同的效果。
• 图像作为向量空间 ：固定高度和宽度的图像构成一个向量空间。每个像素由红、绿、蓝（RGB）值定义，因此空间的坐标数量和维度由像素数量的三倍决定。

以下是一个处理低分辨率灰度图像的代码示例：

def from_lowres_g