31、离散时间排队系统的串联队列、网络及优化控制

离散时间排队系统的串联队列、网络及优化控制

1. 串联队列基础

串联队列是排队系统中的一种重要结构。矩阵 $P$ 的分块矩阵可表示为：
- $B = J (T)P^{(1)}_1$
- $C = J (tα)P^{(1)}_1$
- $E = J (T ⊗s1)P^{(2)}_1$
- $A_0 = J ((tα)⊗S1)P^{(1)}_1$
- $A_1 = J (T ⊗S1)P^{(1)}_1 +J ((tα)⊗(s1β1))P^{(2)}_1$
- $A_2 = J (T ⊗(s1β1))P^{(2)}_1$

该马尔可夫链的稳定性条件可通过研究矩阵 $A = A_0 +A_1 +A_2$ 得到。矩阵 $A$ 在此类问题中是不可约的。设其平稳分布向量为 $\pi$，满足 $\pi = \pi A$ 且 $\pi 1 = 1$，则稳定性条件为 $\pi A_0 1 < \pi A_2 1$。

2. 有限缓冲区的串联队列

当两个队列的缓冲区均为有限大小时，系统可能会在第一个队列出现损失。定义一个多元离散时间马尔可夫链（DTMC）${X^{(1)}_n ,X^{(2)}_n ,A_n,S^{(1)}_n ,S^{(2)}_n }$，其中 $n = 1,2,\cdots$，$X^{(1)}_n = 0,1,2,\cdots,K_1 + 1$；$X^{(2)}_n = 0,1,2,\cdots,K_2 + 1$，$X^k_n$ 表示第 $k$ 个队列在时间 $n$ 时等待的数据包数量（包括正在接受服务的那个）。$A(n)$ 表示在时间 $n$ 到达第一个队列的数据包数量，且 $A(n)$ 只能取