30、串联队列与排队网络分析

串联队列与排队网络分析

1. 串联队列基础理论

在串联队列系统中，存在一些关键的理论关系。对于节点状态的概率分布，有如下重要公式：
- 对于任意节点 $i$，当 $n \to \infty$ 时，$Pr{X_i^n = 0}=(b_i - a)(b_i\overline{b_i})^{-1}$，$Pr{X_i^n = k}=(b_i - a)(b_i\overline{b_i})^{-1}\theta_i^k$，其中 $i \geq 0$。
- 系统中所有节点数量的联合分布遵循乘积形式的解。并且，有 $x_{i + 1,j} = \sum_{k = 0}^{\infty} x_{i,k}r_{k,j}$，$i = 0,1,2,\cdots ;j = 0,1,2,\cdots$。
- 边界条件为 $[x_0, x_1] = [x_0, x_1] \begin{pmatrix} B & C \ E & A_1 + RA_2 \end{pmatrix}$，同时满足归一化条件 $x_01 + x_1[I - R]^{-1}1 = 1$。

通过结合系统节点数量联合分布的乘积形式解和 $x_{i + 1,j} = \sum_{v = 0}^{\infty} x_{i,v}r_{v,j}$ 这两个结果，对于两个串联队列的情况，经过一些代数运算，可得到 $\sum_{v = 0}^{\infty} \theta_2^v r_{v,k} = \theta_1\theta_2^k$。令 $R_k(z) = \sum_{v = 0}^{\infty} z^v r_{v,k}$，则有 $R_k(\theta_2) = \theta_1\theta_2^k$，$k = 0,1,2