29、时变参数队列与串联队列网络解析

时变参数队列与串联队列网络解析

在实际的排队系统中，参数往往是随时间变化的，这使得对排队系统的分析变得更加复杂。本文将深入探讨时变参数队列以及串联队列网络的相关问题，包括不同类型队列的模型构建、状态转移以及稳定性分析等内容。

时变参数队列

PHn/PHn/1 系统

在 PHn/PHn/1 系统中，时间变化的到达过程由时间变化的阶段类型分布表示，在时间 $n$ 时，其表示为 $(\alpha_n, T_n)$ ，阶数为 $u$ ，且 $t_n = 1 - T_n1$ ；时间变化的服务过程由时间变化的阶段类型 $(\beta_n, S_n)$ 表示，阶数为 $v$ ，且 $s_n = 1 - S_n1$ 。

我们定义一个状态空间为 ${X_n, Y_n, Z_n}_{n \geq 0}$ 的马尔可夫链，其中在时间 $n$ 时，$X_n$ 是系统中的顾客数量，$Y_n$ 是到达阶段，$Z_n$ 是服务阶段。该链的转移矩阵 $P_n$ 如下：
[
P_n =
\begin{bmatrix}
B_n & C_n \
E_n & A_n & U_n \
D_n & A_n & U_n \
\cdots & \cdots & \cdots
\end{bmatrix}
]
其中：
- $B_n = T_n$
- $C_n = (t_n\alpha_n) \otimes \beta_n$
- $E_n = T_n \otimes s_n$
- $U_n = (t_n\alpha_n