22、多服务器单节点排队模型解析

多服务器单节点排队模型解析

在排队论的研究中，多服务器单节点排队模型是一个重要的领域，它涉及到多种不同类型的排队系统，如 Geo/D/k、MAP/D/k、BMAP/D/k 和 Geo/G/∞ 等系统。下面将详细介绍这些排队系统的特点、分析方法以及相关计算。

1. 通用模型基础

在多服务器单节点排队模型中，有一些通用的基础概念和公式。首先定义向量 $x = [x_0, x_1, x_2,···]$，其中：
- $x_0 = [x_{0,1}, x_{0,2}, ··· , x_{0,n_t}]$
- $x_i = [x_{i,1}, x_{i,2}, ··· , x_{i,n}]$
- $x_{i,j} = [x_{i,j,1}, x_{i,j,2}, ··· , x_{i,j,n_t(i)}]$，且 $n_t(i) = \min{i_ns,k_ns}$

从矩阵几何结果可知，当 $i \geq k$ 时，有 $x_{i+1} = x_iR$。边界变量 $x_b = [x_0, x_1, ··· , x_k]$ 通过求解以下方程得到：
$x_b = x_bB[R]$，$x_b1 = 1$
其中：
[
B[R] =
\begin{bmatrix}
C_{0,0} & C_{0,1} \
C_{1,0} & C_{1,1} & C_{1,2} \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \
C_{k - 1,0} & C_{k - 1,1} & C_{k - 1,2} &