21、多服务器单节点排队模型分析

多服务器单节点排队模型分析

1. 基础概念与DTMC模型

在排队系统中，我们考虑服务器具有相同的几何服务过程。设 $\bar{b} = 1 - b$，当有 $j$ 个数据包在服务时，在一个时间槽内有 $i$（$i \leq j$）个数据包完成服务的概率 $b_{i}^{(j)}$ 服从二项分布，即：
[b_{i}^{(j)} = \binom{j}{i}b^{i}(1 - b)^{j - i}, 0 \leq i \leq j]

考虑离散时间马尔可夫链（DTMC）${X_{n}, n \geq 0}$，其状态空间为 ${0, 1, 2, 3, \cdots}$，其中 $X_{n}$ 表示在时间槽 $n$ 时系统中的数据包数量。定义 $p_{i,j} = Pr{X_{n + 1} = j|X_{n} = i}$，则有：
- $p_{0,0} = \bar{a}$
- $p_{0,1} = a$
- $p_{0,j} = 0, \forall j \geq 2$

当 $i < k$ 时：
[p_{i,j} =
\begin{cases}
ab_{0}^{(i)}, & j = i + 1 \
\bar{a}b_{i}^{(i)}, & j = 0 \
ab_{i - j + 1}^{(i)} + \bar{a}b_{i - j}^{(i)}, & 1 \leq j \leq i \
0, & j > i + 1
\end{cases}
]

当 $i \geq k$ 时：
[p_{i,j} =