5、排队系统中的到达与服务过程解析

排队系统中的到达与服务过程解析

1. 引言

在排队系统中，明确到达和服务过程至关重要。这些随机过程是解释队列如何形成、波动和消散的关键，也是决定排队系统性能的重要特征。若物品到达间隔时间短而服务时间长，队列必然会堆积。而这些时间的变化情况，即到达间隔时间和服务时间的分布，更是重中之重。接下来，我们将介绍常见的到达和服务过程，在此之前，先简要回顾离散事件概率的重要公理及相关内容。

2. 离散随机变量与矩阵的概率回顾

• 离散状态空间 ：定义离散状态空间 $Z = {a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,\cdots}$ 为可数序列，其中 $a_i \neq a_j$（$i \neq j$）。通常考虑特殊的离散状态空间 $Z = {0,1,2,3,4,\cdots}$。设 $Z_s = {a_1,a_2,\cdots,a_N}$ 是 $Z$ 的子集，例如掷六面骰子的可能结果 $Z_s = {1,2,3,4,5,6}$，或抛三枚无偏硬币出现正面的数量 $Z_s = {0,1,2,3}$ 等。设 $A$ 是 $Z$ 中的随机变量，$P(A)$ 是事件 $A$ 的概率，定义 $p_i$ 为 $A$ 取值 $i \in Z$ 的概率，则有：
  1. $P(A = i) = p_i$，$i \in Z$；
  2. $0 \leq p_i \leq 1$；
  3. $\sum_{i \in Z} p_i = 1$。
• 随机变量的期望 ：
  1. $E[A]$ 表示 $A