31、非参数检验：Wilcoxon秩和检验与符号秩检验详解

非参数检验：Wilcoxon秩和检验与符号秩检验详解

在工程数据分析中，非参数检验是一种重要的统计方法，尤其适用于数据不满足正态分布假设的情况。本文将详细介绍Wilcoxon秩和检验和Wilcoxon符号秩检验的原理、计算方法以及实际应用，并结合MATLAB进行实例分析。

1. Wilcoxon秩和检验

Wilcoxon秩和检验是一种非参数检验方法，用于比较两个独立样本的分布是否存在显著差异，类似于非配对t检验。

1.1 精确计算p值

在小样本情况下，我们可以通过列举所有可能的排列组合来精确计算p值。例如，对于新合金的相关数据，我们列出了所有排列组合，发现秩和 ≤24.5 的排列有69种，总排列数为70种，因此p值为69/70 = 0.9857。如果是右尾检验，则需要计算秩和 ≥24.5 的排列数并除以总排列数。

1.2 正态近似法

当至少有一个样本的元素数量超过20时，可以使用正态近似法来计算p值。该方法基于中心极限定理，将检验统计量的分布近似为正态分布。计算过程根据数据中是否存在结（ties）而有所不同：
- 无结情况 ：
- 计算Wilcoxon检验统计量。
- 计算均值/期望值：$\frac{1}{2}n_1(n_1 + n_2 + 1)$。
- 计算方差：$\frac{1}{12}n_1n_2(n_1 + n_2 + 1)$。
- 有结情况 ：
- 同样计算Wilcoxon检验统计量、均值/期望值和方差。
- 由于存在结，需要对方差进行调整：
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