16、连续概率分布：对数正态、伽马与指数分布详解

连续概率分布：对数正态、伽马与指数分布详解

在数据分析和概率统计领域，对数正态分布、伽马分布和指数分布是非常重要的概念。它们在不同的场景中有着广泛的应用，下面将详细介绍这些分布的特点、参数、计算方法以及在MATLAB中的实现。

对数正态分布

定义与特点

对数正态分布与对数和正态分布密切相关，它是由正态分布直接推导而来。与正态分布不同，对数正态分布适用于数据高度偏斜或包含异常值的情况。正态分布的数据总是对称分布，没有偏斜或异常值，绘制在图表上呈现钟形；而对数正态分布的数据则向右倾斜，且只包含正数，因为对数函数只能接受正值。

检验数据是否符合对数正态分布

若原始数据的对数呈正态分布，则该原始数据符合对数正态分布。例如，工程师收集电压数据来分析电气系统的行为，对原始数据绘制直方图后，发现其对数变换改变了分布的形状。由于原始数据正偏斜，对数变换使分布更加对称。但如果原始数据负偏斜，对数变换可能会使分布更加偏斜。

若变量 $X$ 服从正态分布，则 $X$ 的指数函数服从对数正态分布；反之，若 $X$ 服从对数正态分布，则 $\ln X$ 服从正态分布。

参数

对数正态分布和正态分布有相同的参数，即均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$，它们分别是位置和尺度参数。但在变换前，$\mu$ 和 $\sigma$ 是定义对数正态分布的参数，而非正态分布的参数。

形状

对数正态分布是右偏的连续概率分布，即右侧有长尾。

理论计算

• 概率密度函数（PDF）