10、概率分布与参数估计方法详解

概率分布与参数估计方法详解

1. 常见概率分布

1.1 二项分布

二项分布的期望 (E(X)=np)，方差 (Var(X)=np(1 - p))。这里 (n) 是试验次数，(p) 是每次试验成功的概率。

1.2 几何分布

几何分布与二项分布相关，以独立抛硬币为例，正面朝上概率为 (p)，反面朝上概率为 (1 - p)。几何分布用于模拟首次出现反面朝上所需的抛掷次数。随机变量 (X) 表示首次出现反面朝上的抛掷次数，其概率密度函数为 (P(X = x)=f(x|p)=(1 - p)^{x - 1}p)，(x = 1,2,\cdots)，且 (0 < p < 1)。其均值 (E(X)=\frac{1}{1 - p})，方差 (Var(X)=\frac{1}{(1 - p)^2})。

1.3 多项分布

假设有一个装有 (k) 种不同颜色球的袋子，第 (i) 种颜色球的比例为 (p_i)，满足 (p_i>0)，(i = 1,\cdots,k) 且 (\sum_{i = 1}^{k}p_i = 1)。从袋子中随机选取 (n) 个球，设 (X_i) 表示选取的第 (i) 种颜色球的数量，随机向量 (\mathbf{X}=(X_1,\cdots,X_k)) 服从参数为 (n) 和 (\mathbf{p}=(p_1,\cdots,p_k)) 的多项分布。对于向量 (\mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_k))，(\mathbf{X}) 的概率函数为 (P(\mathbf{X}=\mathbf{x})=f(\mathbf{x}|n,\mathbf{p})=\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}p_1^{