34、任意 t ＜ n/3 的完美安全乘法

任意 t < n/3 的完美安全乘法

1. 投诉验证 - F j eval 功能

当诚实方 Pj 提出投诉时，意味着 (C’(α_j) \neq A(α_j) \cdot B(α_j) - \sum_{\ell = 1}^{t}(α_j)^{\ell} \cdot D_{\ell}(α_j))。为了验证这是否是合理投诉，需要在不泄露其他信息的情况下，重构 Pj 的所有输入份额，即 (β_A^j)、(β_B^j)、(β_{D_1}^j)、…、(β_{D_t}^j)、(β_{C’}^j)。

1.1 F j eval 功能定义

• 输入 ：接收诚实方的输入 ({β_i} {i \notin I})，设 (f(x)) 是由点 ({(α_i, β_i)} {i \notin I}) 确定的唯一 t 次多项式。
• 输出 ：向每个方 (P_i)（(i = 1, …, n)）发送输出对 ((f(α_i), f(α_j)))。

1.2 背景知识

各方输入是一个行向量 (\vec{β} = (β_1, …, β_n))，其中 (β_i = f(α_i))，且 (\vec{β} = V_α \cdot \vec{f})，这里 (V_α) 是 (n \times (t + 1)) 的范德蒙矩阵，(\vec{f}) 是多项式 (f(x)) 系数的 (t + 1) 维列向量。设 (\vec{α}_j = (1, α_j, (α_j)^2, …, (α_j)^t)) 是 (V_α) 的第 j 行，则功能输出 (f(