33、任意 t ＜ n/3 下的完美安全乘法

任意 t < n/3 下的完美安全乘法

在安全多方计算领域，一组拥有私有输入的参与方希望联合计算其输入的某些功能。本文聚焦于在存在至多 t < n/3 恶意参与方的情况下实现完美乘法，对相关协议进行了详细阐述和证明。

1. BGW 完美乘法协议

BGW 乘法协议旨在让一组参与方在给定单个值 a 和 b 的共享情况下，计算出它们乘积 a·b 的共享。假设 a1, …, an 是参与方对 a 的共享，b1, …, bn 是对 b 的共享，该协议按以下步骤执行：
1. 共享份额 ：每个参与方 Pi 将其份额 ai 和 bi 与其他所有参与方共享。通过纠错码的方式，防止被篡改的 Pi 共享不同的值。
2. 分发乘积份额 ：
- 计算多项式 ：Pi 计算多项式 D1, …, Dt，使得 C(x) = A(x)·B(x) - ∑(t, ℓ=1) x^ℓ· Dℓ(x) 是一个次数为 t 且自由系数为 ai·bi 的多项式。
- 可验证共享多项式 ：Pi 向所有参与方可验证地共享多项式 D1, …, Dt。
- 计算 C(x) 的份额 ：每个参与方根据其 ai、bi 的份额以及多项式 D1, …, Dt 计算 C(x) 的份额。
- 验证多项式次数 ：需要验证这些份额定义的是一个次数为 t 的多项式，而不是更高次数的多项式。
3. 本地线性计算 ：完成上述步骤后，所有参与方