22、FIR滤波器的窗口设计技术详解

FIR滤波器的窗口设计技术详解

1. 窗口设计基本思想

窗口设计的核心思路是先挑选合适的理想频率选择滤波器（通常具有非因果、无限长的脉冲响应），接着对其脉冲响应进行截断（即加窗），以此得到线性相位且因果的有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器。该方法的重点在于选取恰当的窗函数和理想滤波器。

理想频率选择滤波器用 (H_d(e^{j\omega})) 表示，在通带内具有单位幅度增益和线性相位特性，在阻带内响应为零。例如，带宽为 (\omega_c < \pi) 的理想低通滤波器（LPF）可表示为：
[
H_d(e^{j\omega}) =
\begin{cases}
1 \cdot e^{-j\alpha\omega}, & |\omega| \leq \omega_c \
0, & \omega_c < |\omega| \leq \pi
\end{cases}
]
其中，(\omega_c) 被称为截止频率，(\alpha) 为采样延迟。该滤波器的脉冲响应是无限长的，可通过离散时间傅里叶逆变换（IDTFT）得出：
[
h_d(n) = F^{-1}[H_d(e^{j\omega})] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} H_d(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega = \frac{\sin[\omega_c(n - \alpha)]}{\pi(n - \alpha)}
]
需要注意的是，(h_d(n)) 关于 (\alpha) 对称，这一特性对线性相位 FIR 滤波器很有用。

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