12、z域采样与重构及离散傅里叶变换详解

z域采样与重构及离散傅里叶变换详解

1. z域采样与重构基础

1.1 z域采样原理

设 (x(n)) 是一个任意绝对可和序列，其 (z) 变换为 (X(z)=\sum_{m = -\infty}^{\infty}x(m)z^{-m})，且假设 (X(z)) 的收敛域包含单位圆。在单位圆上以角度间隔 (\omega_1=\frac{2\pi}{N}) 对 (X(z)) 进行采样，得到离散傅里叶级数（DFS）序列 (\tilde{X}(k))：
(\tilde{X}(k)\triangleq X(z)| {z = e^{j\frac{2\pi}{N}k}}=\sum {m = -\infty}^{\infty}x(m)e^{-j\frac{2\pi}{N}km}=\sum_{m = -\infty}^{\infty}x(m)W_N^{km})，其中 (W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}})，(\tilde{X}(k)) 是以 (N) 为周期的序列。

对 (\tilde{X}(k)) 进行逆离散傅里叶级数（IDFS）计算，得到 (\tilde{x}(n)=IDFS[\tilde{X}(k)])，(\tilde{x}(n)) 同样是以 (N) 为周期的序列。

1.2 时域序列与采样的关系

通过一系列推导可得：
(\tilde{x}(n)=\sum_{r = -\infty}^{\infty}x(n - rN)=\cdots + x(n + N)+x(n)+x(n - N)+\cdots)
这表明在单位圆上对 (X(z)) 采样时，时域会得到一个周期序列，该序列是原始 (x(