4、离散时间信号与系统详解

离散时间信号与系统详解

1. 离散时间信号基础

1.1 几何级数

在数字信号处理中，形如 ${\alpha^n, n \geq 0}$ 的单边指数序列（其中 $\alpha$ 为任意常数）被称为几何级数。该级数在 $|\alpha| < 1$ 时收敛，其各项之和收敛于 $\frac{1}{1 - \alpha}$，即：
$\sum_{n=0}^{\infty} \alpha^n \to \frac{1}{1 - \alpha}, \text{ 对于 } |\alpha| < 1$

同时，该级数任意有限项之和的表达式为：
$\sum_{n=0}^{N - 1} \alpha^n = \frac{1 - \alpha^N}{1 - \alpha}, \forall \alpha$

1.2 序列的相关性

相关性是数字信号处理中常用的一种运算，用于衡量两个序列的相似程度。对于两个有限能量的实值序列 $x(n)$ 和 $y(n)$，它们的互相关序列 $r_{xy}(\ell)$ 定义为：
$r_{x,y}(\ell) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x(n)y(n - \ell)$

其中，$\ell$ 称为位移或滞后参数。当 $y(n) = x(n)$ 时，上述公式变为自相关，定义为：
$r_{xx}(\ell) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x(n)x(n - \ell)$

自相关用于衡量序列在不同对齐方式下的自相似性。后续会讨论使用 MATLAB 函数计算自相关和互相关。