15、神经网络与细胞自动机的逆问题及突触修改算法研究

神经网络与细胞自动机的逆问题及突触修改算法研究

1 细胞自动机与神经网络逆问题概述

在自然现象的研究中，常见的数学模型主要分为连续模型和离散模型两类。连续模型以微分方程为数学表达形式，能对复杂宏观现象，如相变、趋近平衡等进行解析求解，在以往对自然系统的研究中应用广泛。近年来，随着数值计算的发展，离散模型在解释复杂现象，特别是与不可逆性相关的现象，如混沌、宏观系统从无序到有序的演化以及自组织系统等方面，展现出了巨大潜力，其中细胞自动机（Cellular Automata，简称 C.A.）受到了特别关注。

细胞自动机是一个离散的格点系统，每个格点在时间 $t$ 的状态由整数表示，其值取决于前一时刻 $t - r$（$r$ 为固定有限时间延迟）格点的状态，且这些整数属于环 $R_h$。通常假设 $h = 2$，此时细胞自动机的演化可以用与神经活动建模相同的神经元方程（Neuronic Equations，简称 NE）来描述。通过在系统状态的函数空间中描述系统的演化，细胞自动机的动力学可以线性化，其演化由一个 $2^N \times 2^N$ 的置换矩阵 $P_N$ 表示，该矩阵可能是退化的。

置换矩阵 $P_N$ 的特征值能简单地表示细胞自动机中瞬态状态（经过有限步骤后消失的配置）和循环（状态的自重复序列）的存在。由于 $P_N$ 是置换矩阵，其特征值为零或单位根。特征值零表示退化，对应瞬态状态；单位根对应自动机的循环。这些特征体现在置换矩阵 $P_N$ 的特征方程中：
[n_0 + \sum_{l_i} n_{l_i} = 2^N]
其中，$n_0$ 表示瞬态状态的总数，$n_{l_i}$ 表示长度为 $l_i$ 的循环的数量。整数参数 $n_0$、$l_i$ 和