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分数阶热传导模型参数识别与大数据机会约束优化
分数阶热传导模型参数识别
在科学、技术和工业领域，对各类技术过程进行建模和优化是极为重要的问题。要正确建模一个过程，需要了解其模型以及所有相关参数。本文聚焦于多孔材料的热传导建模及其逆问题。
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数学模型
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热传导方程
：描述多孔介质中热传导过程的空间分数阶热传导方程为：
[c\cdot\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=k\frac{\partial^b u(x,t)}{\partial x^b}]
其中 (x\in[0,L_x])，(t\in[0,T))，(b) 是分数阶导数的阶数，(c)、(\rho)、(k) 分别表示比热容、密度和热导率系数，函数 (u) 描述温度。 -
初始 - 边界条件
：
[u(x,0)=f, x\in[0,L_x]]
[-k\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}=q(t), t\in(0,T)]
[-k\frac{\partial u(L_x,t)}{\partial x}=h(t)(u(L_x,T)-u_{\infty}), t\in(0,T)]
其中 (q) 是热通量，(h) 是传热系数，函数 (f) 描述初始条件，(u_{\infty}) 是环境温度。方程右侧的分数阶导数是 Riemann - Liouville 导数，定义为：
[\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\frac{1}{\Gamma(2 - b)}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\int_{0}^{x}u(s,t)(x - s)^{1 - b}ds]
在逆问题中，传热系数 (h)、初始条件 (f) 和热导率 (k) 是未知参数，需要根据边界温度测量值进行重建。传热系数 (h(t)=a_1t)，(k = a_2) 和 (f = a_3) 为常数。通过计算模型的近似温度与测量温度的误差，构建目标函数：
[F(h,k,f)=\sqrt{\sum_{k = 1}^{N}(U_k(h,k,f)-\hat{U}_k)^2}]
使用混合算法最小化该目标函数，即可恢复参数 (h)、(k)、(f)。
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热传导方程
：描述多孔介质中热传导过程的空间分数阶热传导方程为：
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直接问题求解
直接问题使用有限差分法求解。Riemann - Liouville 分数阶导数使用 Grünwald 公式近似：
[\frac{\partial^b u(x_i,t_k)}{\partial x^b}\approx\sum_{j = 0}^{i + 1}\chi(b,j)U_{i - j + 1}^k]
其中 (\chi(b,j)=\frac{\Gamma(j - b)}{\Gamma(-b)\Gamma(j + 1)})。使用网格 (S={(x_i,t_k):x_i = i\Delta x,t_k = k\Delta t,i = 0,1,\cdots,N,k = 0,1,\cdots,M})，通过离散方程、近似边界条件和分数阶导数，得到差分格式，从而获得网格点的温度值。 -
混合算法
为了找到模型的未知参数，需要最小化目标函数 (F(h,k,f))。混合算法结合了蚁群优化算法（ACO）和 Nelder - Mead 方法。-
蚁群优化算法（ACO）
：
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初始化
：
- 设置算法参数 (L)（信息素点数）、(M)（蚂蚁数）、(I)（迭代次数）、(n_T)（线程数）。
- 随机生成 (L) 个信息素点（解），创建初始存档解 (T_0)。
- 计算每个信息素点的目标函数值，并根据值对解进行排序。
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迭代过程
：
- 根据公式 (p_l=\frac{x_l}{\sum_{l = 1}^{L}x_l}) 为信息素点分配概率，其中 (x_l=\frac{1}{qL\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(l - 1)^2}{2q^2L^2}})。
- 蚂蚁根据概率选择第 (l) 个解。
- 蚂蚁使用高斯函数 (g(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}) 对解的坐标进行变换。
- 重复步骤 5 - 6 为每只蚂蚁生成新解。
- 将种群分为 (n_T) 组并行计算。
- 计算新解的目标函数值。
- 对新解进行排序。
- 重复步骤 4 - 10 (I) 次。
- 返回最后存档 (T_i) 中的最佳解。
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初始化
：
- Nelder - Mead 方法 ：ACO 算法的结果作为 Nelder - Mead 方法的输入单纯形，该方法用于在解空间中找到最佳点。
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蚁群优化算法（ACO）
：
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数值结果
在数值示例中，采用以下数据：
|参数|数值|
| ---- | ---- |
| (t) 范围 | ([0,71.82]s) |
| (x) 范围 | ([0,3.825]mm) |
| (c) | (900\frac{J}{kg\cdot K}) |
| (\rho) | (2106\frac{kg}{m^3}) |
| (u_{\infty}) | (298K) |
| (q(t)) | (0\frac{kg}{s^3\cdot m^{2 - b}}) |
未知参数 (h(t)=a_1t\frac{kg}{s^3\cdot m^{3 - b}\cdot K})，(k = a_2\frac{W}{m^{3 - b}\cdot K})，(f = a_3K) 的精确值分别为 (a_1 = 170)，(a_2 = 184)，(a_3 = 573.15)。计算使用的网格大小为 (100\times1995)，生成输入数据的网格大小为 (200\times3990)。
混合算法识别的参数结果如下表所示：
|参数|识别值|重建误差 ((\%))|
| ---- | ---- | ---- |
| (a_1) | (170.13) | (0.08) |
| (a_2) | (183.90) | (0.06) |
| (a_3) | (573.14) | (1.7\times10^{-3}) |
| 目标函数值 | (0.01135) | - |
| 目标函数计算次数 | (180) | - |
温度重建误差如下表所示：
|误差类型|数值|
| ---- | ---- |
| 平均绝对误差 ((K)) | (1.4\times10^{-3}) |
| 最大绝对误差 ((K)) | (8.1\times10^{-3}) |
| 平均相对误差 ((\%)) | (2.6\times10^{-4}) |
| 最大相对误差 ((\%)) | (1.4\times10^{-3}) |
mermaid 格式流程图如下：
graph TD
A[初始化 ACO 算法] --> B[生成信息素点]
B --> C[计算目标函数值并排序]
C --> D[分配概率]
D --> E[蚂蚁选择解]
E --> F[变换解的坐标]
F --> G[生成新解]
G --> H[分组并行计算目标函数值]
H --> I[对新解排序]
I --> J{是否达到迭代次数}
J -- 否 --> D
J -- 是 --> K[输出最佳解]
K --> L[作为 Nelder - Mead 方法输入]
L --> M[Nelder - Mead 方法寻优]
M --> N[输出最终结果]
从结果可以看出，混合算法能够有效地识别热传导模型的未知参数，重建误差较小，且所需的目标函数计算次数远少于仅使用 ACO 算法的情况。
大数据机会约束优化中的数据缩减
在实际优化问题中，需要考虑各种不确定性。机会约束问题（CCP）是解决不确定性优化问题的主要方法之一，它确保满足约束条件的概率高于一定水平。然而，传统的 CCP 公式化方法存在不确定性建模误差的问题。
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机会约束问题概述
机会约束问题（CCP）也称为概率约束问题，在随机规划领域已经研究多年。近年来，进化算法也被用于解决 CCP。传统的 CCP 公式化中，不确定性通常用理论概率分布（如正态分布）建模，或者使用少量实际观测数据。这导致了不确定性建模的误差。
随着信息技术的发展，如无线传感器网络（WSN）和物联网（IoT），大数据集（big data）在各个领域都很容易获取。这些大数据集可能来自实际应用中的不确定性，因此有可能更准确地描述 CCP。
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问题的提出与解决思路
基于大数据集（全数据集），提出了 CCP 的松弛问题。为了实际处理这个大数据集，提出了一种基于分层抽样的数据缩减方法。同时，提出了一种样本节省技术，使用自适应差分进化算法有效地解决松弛问题。 -
方法流程
- 数据缩减 ：基于分层抽样的方法对全数据集进行缩减，减少数据量，提高计算效率。
- 样本节省技术 ：结合自适应差分进化算法，在解决松弛问题时节省样本，提高算法的效率。
- 应用 ：将该方法应用于洪水控制规划的 CCP 中。
mermaid 格式流程图如下：
graph TD
A[获取全数据集] --> B[基于分层抽样数据缩减]
B --> C[构建 CCP 松弛问题]
C --> D[应用样本节省技术]
D --> E[使用自适应差分进化算法求解]
E --> F[输出优化结果]
F --> G[应用于洪水控制规划]
这种结合数据缩减和样本节省技术的方法，能够在处理大数据集的机会约束优化问题时，提高计算效率，同时保证结果的准确性。在洪水控制规划等实际应用中具有重要的意义。
分数阶热传导模型参数识别与大数据机会约束优化
分数阶热传导模型参数识别的进一步分析
在分数阶热传导模型参数识别中，混合算法的优势不仅体现在识别精度上，还体现在其对不同类型问题的适应性上。
1.
算法优势分析
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探索与开发的平衡
：蚁群优化算法（ACO）具有探索解空间的能力，它能够避免陷入局部最优解，通过在解空间中广泛搜索，定位可能存在解的区域。而 Nelder - Mead 方法则擅长在已确定的区域内进行精细搜索，找到最优解。这种结合使得混合算法在探索和开发之间取得了良好的平衡。
-
计算效率
：相比于仅使用 ACO 算法，混合算法所需的目标函数计算次数显著减少。在上述数值示例中，仅使用 ACO 算法需要计算目标函数 892 次，而混合算法仅需要 180 次，大大提高了计算效率。
2.
影响因素分析
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参数设置
：ACO 算法中的参数 (L)、(M)、(I) 和 (n_T) 对算法的性能有重要影响。例如，增加信息素点数 (L) 可以扩大搜索范围，但会增加计算量；增加蚂蚁数 (M) 可以提高搜索的多样性，但也会增加计算时间。因此，需要根据具体问题合理设置这些参数。
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初始条件
：初始条件的选择会影响 Nelder - Mead 方法的收敛速度和最终结果。ACO 算法的输出作为 Nelder - Mead 方法的初始单纯形，其质量直接影响后续的优化过程。
大数据机会约束优化的实际应用与挑战
大数据机会约束优化中的数据缩减方法在洪水控制规划等实际应用中具有重要的意义，但也面临一些挑战。
1.
实际应用案例分析
-
洪水控制规划
：在洪水控制规划中，需要考虑降雨量、河流流量等多种不确定性因素。通过将该问题建模为机会约束问题，并使用数据缩减和样本节省技术，可以在保证满足约束条件的概率高于一定水平的前提下，优化防洪措施的配置，如水库的泄洪策略、堤坝的建设等。
-
其他应用领域
：该方法还可以应用于其他领域的优化问题，如电力系统的调度、供应链管理等。在这些领域中，也存在大量的不确定性因素，需要通过机会约束问题来解决。
2.
面临的挑战与解决方案
-
数据质量
：大数据集的质量可能存在问题，如数据缺失、数据错误等。这些问题会影响数据缩减和优化结果的准确性。解决方案包括数据清洗、数据预处理等，以提高数据的质量。
-
算法复杂度
：随着数据量的增加，算法的复杂度也会增加。为了提高算法的效率，可以采用并行计算、分布式计算等技术，减少计算时间。
以下是一个总结表格，对比分数阶热传导模型参数识别和大数据机会约束优化的相关信息：
| 对比项 | 分数阶热传导模型参数识别 | 大数据机会约束优化 |
| ---- | ---- | ---- |
| 问题类型 | 热传导逆问题 | 机会约束优化问题 |
| 主要方法 | 混合算法（ACO + Nelder - Mead） | 分层抽样数据缩减 + 样本节省技术 |
| 目标 | 识别热传导模型的未知参数 | 解决不确定性优化问题 |
| 应用领域 | 多孔材料热传导建模 | 洪水控制规划、电力系统调度等 |
| 优势 | 识别精度高、计算效率高 | 处理大数据集、提高计算效率 |
mermaid 格式流程图展示分数阶热传导模型参数识别和大数据机会约束优化的综合流程：
graph LR
A[分数阶热传导模型参数识别] --> B[建立数学模型]
B --> C[求解直接问题]
C --> D[混合算法优化]
D --> E[输出识别结果]
F[大数据机会约束优化] --> G[获取全数据集]
G --> H[数据缩减]
H --> I[构建松弛问题]
I --> J[样本节省技术]
J --> K[自适应差分进化算法求解]
K --> L[输出优化结果]
E --> M[应用于热传导相关领域]
L --> N[应用于洪水控制等领域]
综上所述，分数阶热传导模型参数识别的混合算法和大数据机会约束优化的数据缩减方法都具有各自的优势和应用场景。在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的方法，以提高优化效果和计算效率。同时，需要不断解决面临的挑战，如数据质量和算法复杂度等问题，以推动这些方法的进一步发展和应用。
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