8、基于高斯过程和GP - UCB算法的未知动力学学习与吸引域估计

基于高斯过程和GP - UCB算法的未知动力学学习与吸引域估计

在研究非线性系统的稳定性和吸引域（Region of Attraction, ROA）估计时，高斯过程（Gaussian Process, GP）和基于GP - UCB（Gaussian Process Upper Confidence Bound）的采样算法为我们提供了一种有效的方法。下面将详细介绍相关理论和算法，并通过单机无穷大母线（Single - Machine Infinite - Bus, SMIB）系统和IEEE 39总线系统的数值模拟进行验证。

1. 高斯过程用于学习未知动力学

在学习未知动力学时，我们考虑观测数据 $y(i)$，它是在第 $i$ 个采样步骤中输入 $x(i)$ 对应的观测函数值，测量噪声 $\epsilon$ 是零均值、独立且有界的，其界为 $\sigma$。

1.1 高斯过程与再生核希尔伯特空间（RKHS）范数

将未知的李雅普诺夫函数 $V(x)$ 看作随机变量，它可以用高斯过程近似。协方差或核函数 $k(x, x’)$ 编码了 $V(x)$ 的平滑性。对于已知高斯过程分布的样本 $\hat{V}_N = [\hat{V}(x(1)), \cdots, \hat{V}(x(N))]^T$，其中 $\hat{V}(x(i)) = V(x(i))+\epsilon$，$\epsilon\sim N(0, \sigma^2)$，后验分布的均值 $\mu_N(x)$、协方差 $k_N(x, x’)$ 和方差 $\sigma_N^2(x)$ 的解析公式如下：
- $\mu_N(x) = k_N(x)^T (K_N+\sigma^2I)^{-1}\hat{V}