22、组合数学中的受限斯特林数与相关概念

组合数学中的受限斯特林数与相关概念

1. 受限斯特林数的基本概念

1.1 受限斯特林数的定义

受限斯特林数分为第一类和第二类。第一类受限斯特林数 $\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}_{\leq m}$ 表示 $n$ 个元素集合的排列中，所有 $k$ 个循环的长度都限制在最多为 $m$ 的排列数，其中 $k \geq \lceil n/m \rceil$。

1.2 受限斯特林数的指数生成函数

第一类受限斯特林数 $\begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix} {\leq m}$ 的指数生成函数为：
[
\sum {n=k}^{mk} \begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix}_{\leq m} \frac{x^n}{n!} = \frac{1}{k!} \left( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{x^m}{m} \right)^k
]
当 $m$ 趋于无穷大时，括号内的和趋于 $\ln \left(\frac{1}{1 - x}\right)$，此时得到第一类斯特林数的指数生成函数。

1.3 第一类受限斯特林数的递归关系

第一类受限斯特林数有两个重要的递归关系：
- 基本递归式：
[
\begin{bmatrix}n + 1\k\end{bmatrix} {\leq m} = n \begin{bmatrix}n\k\end{bmatrix} {\leq m}