35、通信协议中的直接积与三角形计数问题研究

通信协议中的直接积与三角形计数问题研究

通信协议中的直接积相关研究

在通信协议领域，我们关注的一个核心问题是如何在有限的通信轮数和通信量下，高效地计算函数。这里我们引入一些关键的概念和定理。

首先定义几个重要的概念：
- 设 $suc_r(\mu, f, C)$ 表示在输入 $x, y \sim \mu$ 时，一个 $r$ 轮通信协议使用最多 $C$ 比特通信量来计算 $f(x, y)$ 的最大成功概率。
- 定义 $f^n(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)$ 为将输入映射到元组 $(f(x_1, y_1), f(x_2, y_2), \ldots, f(x_n, y_n))$ 的函数，$\mu^n$ 表示 $n$ 对输入的乘积分布，其中每对输入根据 $\mu$ 独立采样。

我们有如下重要定理：
定理 2（主定理） ：设 $f$ 是一个两方布尔函数。存在一个通用常数 $\alpha > 0$，使得如果 $\gamma = 1 - suc_{7r}(\mu, f, C)$，$T \geq 2$，且 $T < \alpha n \gamma^2 \left(\frac{C - r \log(r / 2\gamma)}{\alpha \gamma} - \frac{r}{\alpha \gamma^2}\right)$，那么 $suc_r(\mu^n, f^n, T) \leq \exp(-\alpha \gamma^2 n)$。

当 $suc_r(\mu, f, C) \leq \frac{2}{3}$ 且 $r \log r \ll C$ 时，定