50、欧拉方法的改进及龙格 - 库塔方法

欧拉方法的改进及龙格 - 库塔方法

在数值求解常微分方程（ODE）的过程中，欧拉方法是一种基础且常用的方法，但它存在一定的局限性。本文将详细介绍欧拉方法的改进方法，以及与之相关的龙格 - 库塔（Runge - Kutta）方法。

1. 欧拉方法的实现

在求解 ODE 时，我们通常会定义一个函数，将自变量期望范围的初始值和最终值作为向量 tspan 传入，初始值和期望的步长分别作为 y0 和 h 传入。以下是具体的实现步骤：
1. 生成向量 t ：函数首先使用步长 h 生成一个在因变量期望范围内的向量 t 。如果步长不能均匀地划分范围，最后一个值将小于范围的最终值，此时会将最终值添加到 t 中，以确保序列覆盖整个范围。
2. 预分配向量 y ：为提高效率，将因变量向量 y 预分配为包含 n 个初始条件值，其中 n 是向量 t 的长度。
3. 实现欧拉方法 ：通过一个简单的循环来实现欧拉方法，代码如下：

for i = 1:n - 1  
    y(i + 1) = y(i) + dydt(t(i),y(i),varargin